Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
Преимущества учебника:
- Понятное изложение теории
Авторы уделяют большое внимание теоретической части. Каждый новый параграф начинается с доступного объяснения темы, которое сопровождается примерами и иллюстрациями. Это помогает ученикам лучше понять материал, даже если тема кажется сложной на первый взгляд. - Разнообразие задач
Учебник предлагает широкий выбор заданий разного уровня сложности: от базовых упражнений для закрепления материала до задач повышенной трудности для углублённого изучения. Это делает пособие универсальным как для учеников с базовым уровнем подготовки, так и для тех, кто стремится к высоким результатам. - Практическая направленность
Многие задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что позволяет ученикам понять, как алгебра применяется на практике. Это не только делает обучение интересным, но и помогает развивать прикладное мышление. - Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные задания и тесты для самопроверки. Также в учебнике есть полезные таблицы и формулы, которые помогают систематизировать знания. - Поддержка учителей и родителей
Учебник удобен не только для учеников, но и для учителей, так как он содержит методические рекомендации по проведению уроков. Родители также могут использовать его для помощи своим детям в выполнении домашних заданий.
Учебник «Алгебра, 8 класс» Мерзляка и Полякова — это отличный инструмент для изучения математики, который сочетает в себе доступность, логичность и практическую направленность. Он помогает школьникам не только освоить алгебру, но и развить логическое мышление и умение решать задачи разного уровня сложности. Этот учебник по праву занимает лидирующие позиции среди пособий для 8-го класса.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = n (n ∈ N), равно количеству пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = 2n.
- Пусть пара чисел (x₀; y₀) является решением уравнения x² + y² = n. Тогда пара чисел (x₀ — y₀; x₀ + y₀) является решением уравнения x² + y² = 2n. Это проверяется прямой подстановкой.
- Аналогично, если пара чисел (x₁; y₁) является решением уравнения x² + y² = 2n, то пара чисел ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2) является решением уравнения x² + y² = n.
- Таким образом, между решениями уравнений x² + y² = n и x² + y² = 2n существует взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, количество таких пар одинаково.
Пусть пара чисел (x₀; y₀) является решением уравнения x² + y² = n.
Рассмотрим пару чисел (x₀ — y₀; x₀ + y₀). Проверим, что эта пара является решением уравнения x² + y² = 2n:
(x₀ — y₀)² + (x₀ + y₀)² = (x₀² — 2x₀y₀ + y₀²) + (x₀² + 2x₀y₀ + y₀²) = 2x₀² + 2y₀² = 2n.
Таким образом, если (x₀; y₀) — решение уравнения x² + y² = n, то (x₀ — y₀; x₀ + y₀) — решение уравнения x² + y² = 2n.
Пусть пара чисел (x₁; y₁) является решением уравнения x² + y² = 2n.
Проверим, что пара чисел ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2) является решением уравнения x² + y² = n.
Подставим:
((x₁ + y₁) / 2)² + ((x₁ — y₁) / 2)² = (x₁² + 2x₁y₁ + y₁²) / 4 + (x₁² — 2x₁y₁ + y₁²) / 4 = (2x₁² + 2y₁²) / 4 = (x₁² + y₁²) / 2 = n.
Таким образом, если (x₁; y₁) — решение уравнения x² + y² = 2n, то ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2) — решение уравнения x² + y² = n.
Четность чисел x₁ и y₁.
Заметим, что если (x₁; y₁) — решение уравнения x² + y² = 2n, то числа x₁ и y₁ имеют одинаковую четность. Это следует из того, что сумма квадратов двух чисел четна тогда и только тогда, когда оба числа четные или оба нечетные.
Взаимно-однозначное соответствие.
Между решениями уравнений x² + y² = n и x² + y² = 2n установлено взаимно-однозначное соответствие:
Каждой паре (x₀; y₀), удовлетворяющей x² + y² = n, соответствует пара (x₀ — y₀; x₀ + y₀), удовлетворяющая x² + y² = 2n.
Каждой паре (x₁; y₁), удовлетворяющей x² + y² = 2n, соответствует пара ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2), удовлетворяющая x² + y² = n.
Вывод: количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = n, равно количеству пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = 2n.
Алгебра
