Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = n (n ∈ N), равно количеству пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = 2n.
- Пусть пара чисел (x₀; y₀) является решением уравнения x² + y² = n. Тогда пара чисел (x₀ — y₀; x₀ + y₀) является решением уравнения x² + y² = 2n. Это проверяется прямой подстановкой.
- Аналогично, если пара чисел (x₁; y₁) является решением уравнения x² + y² = 2n, то пара чисел ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2) является решением уравнения x² + y² = n.
- Таким образом, между решениями уравнений x² + y² = n и x² + y² = 2n существует взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, количество таких пар одинаково.
Пусть пара чисел (x₀; y₀) является решением уравнения x² + y² = n.
Рассмотрим пару чисел (x₀ — y₀; x₀ + y₀). Проверим, что эта пара является решением уравнения x² + y² = 2n:
(x₀ — y₀)² + (x₀ + y₀)² = (x₀² — 2x₀y₀ + y₀²) + (x₀² + 2x₀y₀ + y₀²) = 2x₀² + 2y₀² = 2n.
Таким образом, если (x₀; y₀) — решение уравнения x² + y² = n, то (x₀ — y₀; x₀ + y₀) — решение уравнения x² + y² = 2n.
Пусть пара чисел (x₁; y₁) является решением уравнения x² + y² = 2n.
Проверим, что пара чисел ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2) является решением уравнения x² + y² = n.
Подставим:
((x₁ + y₁) / 2)² + ((x₁ — y₁) / 2)² = (x₁² + 2x₁y₁ + y₁²) / 4 + (x₁² — 2x₁y₁ + y₁²) / 4 = (2x₁² + 2y₁²) / 4 = (x₁² + y₁²) / 2 = n.
Таким образом, если (x₁; y₁) — решение уравнения x² + y² = 2n, то ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2) — решение уравнения x² + y² = n.
Четность чисел x₁ и y₁.
Заметим, что если (x₁; y₁) — решение уравнения x² + y² = 2n, то числа x₁ и y₁ имеют одинаковую четность. Это следует из того, что сумма квадратов двух чисел четна тогда и только тогда, когда оба числа четные или оба нечетные.
Взаимно-однозначное соответствие.
Между решениями уравнений x² + y² = n и x² + y² = 2n установлено взаимно-однозначное соответствие:
Каждой паре (x₀; y₀), удовлетворяющей x² + y² = n, соответствует пара (x₀ — y₀; x₀ + y₀), удовлетворяющая x² + y² = 2n.
Каждой паре (x₁; y₁), удовлетворяющей x² + y² = 2n, соответствует пара ((x₁ + y₁) / 2; (x₁ — y₁) / 2), удовлетворяющая x² + y² = n.
Вывод: количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = n, равно количеству пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = 2n.
