Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что множество точек прямой и множество точек окружности с выколотой точкой равномощны.
- Выколем точку из окружности, обозначим её как P₀.
- Проведём прямую через центр окружности и точку P₀.
- Каждой точке окружности, кроме P₀, можно однозначно сопоставить точку на прямой через центральное проектирование.
- Это соответствие взаимно однозначно, значит, множества точек окружности (с выколотой точкой) и прямой равномощны.
1. Условия задачи:
Дано множество точек окружности с выколотой точкой P₀ и множество точек прямой. Нужно доказать, что эти множества равномощны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
2. Построение взаимно однозначного соответствия:
- Выколем точку P₀ из окружности.
- Проведём прямую через центр окружности O и точку P₀. Эта прямая пересекает окружность в двух точках: P₀ и ещё одной точке, которую обозначим как Q.
- Рассмотрим центральное проектирование. Каждой точке окружности, кроме P₀, можно поставить в соответствие точку на прямой, проходящей через O и P₀.
3. Описание соответствия:
- Для любой точки M на окружности (кроме P₀) проведём прямую через O и M. Эта прямая пересечёт заданную прямую (проходящую через O и P₀) в единственной точке.
- Обратно, для любой точки на прямой (кроме точки O), можно провести прямую через O, которая пересечёт окружность в единственной точке M.
4. Взаимно однозначное соответствие:
- Каждой точке окружности (кроме P₀) соответствует единственная точка на прямой.
- Каждой точке прямой, кроме точки O, соответствует единственная точка на окружности (кроме P₀).
- Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством точек окружности (с выколотой точкой P₀) и множеством точек прямой.
5. Вывод:
Множество точек окружности с выколотой точкой и множество точек прямой равномощны. Это доказывает, что между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
