Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На координатной прямой отмечены точки O(0), A(1), B(5). Докажите:
- множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB;
- множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
- Каждой точке M(x₀) на отрезке OA можно поставить в соответствие точку N(5x₀) на отрезке OB путём линейного преобразования x → 5x. Это взаимно однозначное соответствие, значит, множества равномощны.
- Каждой точке M(x₀) на отрезке OA (кроме точки O) можно поставить в соответствие точку N(1/x₀) на луче AB путём преобразования x → 1/x. Это также взаимно однозначное соответствие, значит, множества равномощны.
1. Докажем, что множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB.
Пусть точка M(x₀) принадлежит отрезку OA, где x₀ ∈ [0; 1].
Рассмотрим линейное преобразование x → 5x, которое каждой точке M(x₀) на отрезке OA ставит в соответствие точку N(5x₀) на отрезке OB.
Проверим, что это преобразование взаимно однозначно:
- Для каждого x₀ ∈ [0; 1] значение 5x₀ ∈ [0; 5], то есть точка N(5x₀) действительно принадлежит отрезку OB.
- Обратное преобразование x → x/5 также определено для всех точек на отрезке OB.
- Таким образом, каждому x₀ ∈ [0; 1] соответствует единственное значение 5x₀ ∈ [0; 5], и наоборот.
Вывод: Множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB.
2. Докажем, что множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
Пусть точка M(x₀) принадлежит отрезку OA, где x₀ ∈ (0; 1).
Рассмотрим преобразование x → 1/x, которое каждой точке M(x₀) на отрезке OA (кроме точки O) ставит в соответствие точку N(1/x₀) на луче AB.
Проверим, что это преобразование взаимно однозначно:
- Для каждого x₀ ∈ (0; 1) значение 1/x₀ ∈ (1; ∞), то есть точка N(1/x₀) действительно принадлежит лучу AB.
- Обратное преобразование x → 1/x также определено для всех точек на луче AB.
- Таким образом, каждому x₀ ∈ (0; 1) соответствует единственное значение 1/x₀ ∈ (1; ∞), и наоборот.
Вывод: Множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
Итог:
- Множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB.
- Множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
