Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
Преимущества учебника:
- Понятное изложение теории
Авторы уделяют большое внимание теоретической части. Каждый новый параграф начинается с доступного объяснения темы, которое сопровождается примерами и иллюстрациями. Это помогает ученикам лучше понять материал, даже если тема кажется сложной на первый взгляд. - Разнообразие задач
Учебник предлагает широкий выбор заданий разного уровня сложности: от базовых упражнений для закрепления материала до задач повышенной трудности для углублённого изучения. Это делает пособие универсальным как для учеников с базовым уровнем подготовки, так и для тех, кто стремится к высоким результатам. - Практическая направленность
Многие задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что позволяет ученикам понять, как алгебра применяется на практике. Это не только делает обучение интересным, но и помогает развивать прикладное мышление. - Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные задания и тесты для самопроверки. Также в учебнике есть полезные таблицы и формулы, которые помогают систематизировать знания. - Поддержка учителей и родителей
Учебник удобен не только для учеников, но и для учителей, так как он содержит методические рекомендации по проведению уроков. Родители также могут использовать его для помощи своим детям в выполнении домашних заданий.
Учебник «Алгебра, 8 класс» Мерзляка и Полякова — это отличный инструмент для изучения математики, который сочетает в себе доступность, логичность и практическую направленность. Он помогает школьникам не только освоить алгебру, но и развить логическое мышление и умение решать задачи разного уровня сложности. Этот учебник по праву занимает лидирующие позиции среди пособий для 8-го класса.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На координатной прямой отмечены точки O(0), A(1), B(5). Докажите:
- множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB;
- множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
- Каждой точке M(x₀) на отрезке OA можно поставить в соответствие точку N(5x₀) на отрезке OB путём линейного преобразования x → 5x. Это взаимно однозначное соответствие, значит, множества равномощны.
- Каждой точке M(x₀) на отрезке OA (кроме точки O) можно поставить в соответствие точку N(1/x₀) на луче AB путём преобразования x → 1/x. Это также взаимно однозначное соответствие, значит, множества равномощны.
1. Докажем, что множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB.
Пусть точка M(x₀) принадлежит отрезку OA, где x₀ ∈ [0; 1].
Рассмотрим линейное преобразование x → 5x, которое каждой точке M(x₀) на отрезке OA ставит в соответствие точку N(5x₀) на отрезке OB.
Проверим, что это преобразование взаимно однозначно:
- Для каждого x₀ ∈ [0; 1] значение 5x₀ ∈ [0; 5], то есть точка N(5x₀) действительно принадлежит отрезку OB.
- Обратное преобразование x → x/5 также определено для всех точек на отрезке OB.
- Таким образом, каждому x₀ ∈ [0; 1] соответствует единственное значение 5x₀ ∈ [0; 5], и наоборот.
Вывод: Множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB.
2. Докажем, что множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
Пусть точка M(x₀) принадлежит отрезку OA, где x₀ ∈ (0; 1).
Рассмотрим преобразование x → 1/x, которое каждой точке M(x₀) на отрезке OA (кроме точки O) ставит в соответствие точку N(1/x₀) на луче AB.
Проверим, что это преобразование взаимно однозначно:
- Для каждого x₀ ∈ (0; 1) значение 1/x₀ ∈ (1; ∞), то есть точка N(1/x₀) действительно принадлежит лучу AB.
- Обратное преобразование x → 1/x также определено для всех точек на луче AB.
- Таким образом, каждому x₀ ∈ (0; 1) соответствует единственное значение 1/x₀ ∈ (1; ∞), и наоборот.
Вывод: Множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
Итог:
- Множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка OB.
- Множество точек отрезка OA с выколотой точкой O равномощно множеству точек луча AB.
Алгебра
