Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На плоскости задано некоторое множество непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 1. Докажите, что это множество конечно или счётно.
- Каждой окружности можно поставить в соответствие точку с целыми координатами (например, её центр).
- Так как окружности не пересекаются, их центры различны.
- Множество точек с целыми координатами на плоскости счётно, следовательно, множество окружностей также счётно.
1. Постановка задачи:
Нужно доказать, что множество окружностей с радиусом 1, которые не пересекаются, является конечным или счётным. Для этого достаточно установить взаимно однозначное соответствие между окружностями и множеством, которое уже известно как конечное или счётное.
2. Установление соответствия:
- Введём систему координат на плоскости.
- Каждой окружности поставим в соответствие точку с целыми координатами, совпадающую с её центром.
- Так как окружности не пересекаются, их центры различны.
- Таким образом, каждой окружности соответствует уникальная точка с целыми координатами.
3. Проверка счётности:
- Множество точек с целыми координатами на плоскости уже доказано как счётное (например, с помощью нумерации по спирали, как показано на рисунке).
- Следовательно, множество окружностей, соответствующих этим точкам, также счётно.
4. Вывод:
Множество окружностей, заданных в условии задачи, является конечным или счётным, так как каждой окружности можно поставить в соответствие уникальную точку с целыми координатами.
Итог:
Что и требовалось доказать.
