ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 4.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.

Множества точек двух концентрических окружностей равномощны, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого проведем радиус из центра окружностей и каждой точке на внешней окружности поставим в соответствие точку пересечения этого радиуса с внутренней окружностью. Таким образом, каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, и наоборот.

1. Понимание задачи:
Нужно доказать, что множества точек двух концентрических окружностей имеют одинаковую мощность, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

2. Установление соответствия:
Рассмотрим две концентрические окружности с центром в точке O: внешнюю окружность радиуса R и внутреннюю окружность радиуса r, где r < R.

• Каждой точке P на внешней окружности можно провести радиус OP.
• Точка пересечения этого радиуса с внутренней окружностью обозначим как Q.

3. Установление взаимно однозначного соответствия:

• Каждой точке P на внешней окружности соответствует точка Q на внутренней окружности, такая что они лежат на одном радиусе OP.
• Обратное соответствие: каждой точке Q на внутренней окружности соответствует точка P на внешней окружности, такая что они лежат на одном радиусе OP.

4. Доказательство взаимно однозначного соответствия:

• Каждой точке P на внешней окружности соответствует ровно одна точка Q на внутренней окружности.
• Каждой точке Q на внутренней окружности соответствует ровно одна точка P на внешней окружности.
• Таким образом, между множествами точек внешней и внутренней окружностей установлено взаимно однозначное соответствие.

5. Вывод:
Множества точек любых двух концентрических окружностей равномощны.