Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 5.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что логическое выражение является тавтологией:
- A ⇔ A;
- ¬(A ∨ ¬A);
- A ∨ ¬A ⇔ B;
- A ∧ (B ∨ A);
- (A → B) ∧ (B → A);
- A ∧ ((A → B) → B);
- ¬B ∧ (A → B) → ¬A;
- ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C).
- A ⇔ A — тавтология, так как переменная всегда равна самой себе.
- ¬(A ∨ ¬A) — неверно, так как закон исключённого третьего гласит, что A ∨ ¬A всегда истинно.
- A ∨ ¬A ⇔ B — неверно, так как A ∨ ¬A всегда истинно, а B может быть любым.
- A ∧ (B ∨ A) — тавтология, так как A ∧ (B ∨ A) всегда равно A.
- (A → B) ∧ (B → A) — тавтология, так как это эквивалентно A ⇔ B.
- A ∧ ((A → B) → B) — тавтология, так как при истинности A и (A → B), B также истинно.
- ¬B ∧ (A → B) → ¬A — тавтология, так как это контрапозиция.
- ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C) — тавтология, так как это транзитивность импликации.
1. A ⇔ A
Эквивалентность переменной с самой собой всегда истинна. Таблица истинности:
| A | A ⇔ A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
2. ¬(A ∨ ¬A)
Закон исключённого третьего гласит, что A ∨ ¬A всегда истинно. Таким образом, отрицание этого выражения всегда ложно. Таблица истинности:
| A | ¬A | A ∨ ¬A | ¬(A ∨ ¬A) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
3. A ∨ ¬A ⇔ B
Так как A ∨ ¬A всегда истинно, результат выражения зависит только от значения B. Если B = 1, выражение истинно, если B = 0, выражение ложно. Таблица истинности:
| A | ¬A | A ∨ ¬A | B | A ∨ ¬A ⇔ B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
4. A ∧ (B ∨ A)
Выражение эквивалентно A, так как A ∧ (B ∨ A) = A. Таблица истинности:
| A | B | B ∨ A | A ∧ (B ∨ A) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
5. (A → B) ∧ (B → A)
Это выражение эквивалентно A ⇔ B, что является тавтологией. Таблица истинности:
| A | B | A → B | B → A | (A → B) ∧ (B → A) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
6. A ∧ ((A → B) → B)
Если A истинно, то (A → B) → B также истинно, так как импликация A → B требует, чтобы B было истинно. Таблица истинности:
| A | B | A → B | (A → B) → B | A ∧ ((A → B) → B) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
7. ¬B ∧ (A → B) → ¬A
Это выражение является контрапозицией и всегда истинно. Таблица истинности:
| A | B | ¬B | A → B | ¬B ∧ (A → B) | ¬A | ¬B ∧ (A → B) → ¬A |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
8. ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C)
Это выражение демонстрирует транзитивность импликации и всегда истинно. Таблица истинности:
| A | B | C | A → B | B → C | (A → B) ∧ (B → C) | A → C | ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
