Учебник «Алгебра, 8 класс» под авторством Мерзляка и Полякова — это одно из самых популярных пособий для изучения алгебры в средней школе. Он выделяется не только качественным содержанием, но и продуманной методической структурой, которая помогает школьникам освоить сложные математические концепции. Благодаря этому учебнику, процесс изучения алгебры становится более понятным и увлекательным.
Преимущества учебника:
- Понятное изложение теории
Авторы уделяют большое внимание теоретической части. Каждый новый параграф начинается с доступного объяснения темы, которое сопровождается примерами и иллюстрациями. Это помогает ученикам лучше понять материал, даже если тема кажется сложной на первый взгляд. - Разнообразие задач
Учебник предлагает широкий выбор заданий разного уровня сложности: от базовых упражнений для закрепления материала до задач повышенной трудности для углублённого изучения. Это делает пособие универсальным как для учеников с базовым уровнем подготовки, так и для тех, кто стремится к высоким результатам. - Практическая направленность
Многие задачи связаны с реальными жизненными ситуациями, что позволяет ученикам понять, как алгебра применяется на практике. Это не только делает обучение интересным, но и помогает развивать прикладное мышление. - Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные задания и тесты для самопроверки. Также в учебнике есть полезные таблицы и формулы, которые помогают систематизировать знания. - Поддержка учителей и родителей
Учебник удобен не только для учеников, но и для учителей, так как он содержит методические рекомендации по проведению уроков. Родители также могут использовать его для помощи своим детям в выполнении домашних заданий.
Учебник «Алгебра, 8 класс» Мерзляка и Полякова — это отличный инструмент для изучения математики, который сочетает в себе доступность, логичность и практическую направленность. Он помогает школьникам не только освоить алгебру, но и развить логическое мышление и умение решать задачи разного уровня сложности. Этот учебник по праву занимает лидирующие позиции среди пособий для 8-го класса.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 5.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что логическое выражение является тавтологией:
- A ⇔ A;
- ¬(A ∨ ¬A);
- A ∨ ¬A ⇔ B;
- A ∧ (B ∨ A);
- (A → B) ∧ (B → A);
- A ∧ ((A → B) → B);
- ¬B ∧ (A → B) → ¬A;
- ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C).
- A ⇔ A — тавтология, так как переменная всегда равна самой себе.
- ¬(A ∨ ¬A) — неверно, так как закон исключённого третьего гласит, что A ∨ ¬A всегда истинно.
- A ∨ ¬A ⇔ B — неверно, так как A ∨ ¬A всегда истинно, а B может быть любым.
- A ∧ (B ∨ A) — тавтология, так как A ∧ (B ∨ A) всегда равно A.
- (A → B) ∧ (B → A) — тавтология, так как это эквивалентно A ⇔ B.
- A ∧ ((A → B) → B) — тавтология, так как при истинности A и (A → B), B также истинно.
- ¬B ∧ (A → B) → ¬A — тавтология, так как это контрапозиция.
- ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C) — тавтология, так как это транзитивность импликации.
1. A ⇔ A
Эквивалентность переменной с самой собой всегда истинна. Таблица истинности:
A | A ⇔ A |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2. ¬(A ∨ ¬A)
Закон исключённого третьего гласит, что A ∨ ¬A всегда истинно. Таким образом, отрицание этого выражения всегда ложно. Таблица истинности:
A | ¬A | A ∨ ¬A | ¬(A ∨ ¬A) |
---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
3. A ∨ ¬A ⇔ B
Так как A ∨ ¬A всегда истинно, результат выражения зависит только от значения B. Если B = 1, выражение истинно, если B = 0, выражение ложно. Таблица истинности:
A | ¬A | A ∨ ¬A | B | A ∨ ¬A ⇔ B |
---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
4. A ∧ (B ∨ A)
Выражение эквивалентно A, так как A ∧ (B ∨ A) = A. Таблица истинности:
A | B | B ∨ A | A ∧ (B ∨ A) |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
5. (A → B) ∧ (B → A)
Это выражение эквивалентно A ⇔ B, что является тавтологией. Таблица истинности:
A | B | A → B | B → A | (A → B) ∧ (B → A) |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
6. A ∧ ((A → B) → B)
Если A истинно, то (A → B) → B также истинно, так как импликация A → B требует, чтобы B было истинно. Таблица истинности:
A | B | A → B | (A → B) → B | A ∧ ((A → B) → B) |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
7. ¬B ∧ (A → B) → ¬A
Это выражение является контрапозицией и всегда истинно. Таблица истинности:
A | B | ¬B | A → B | ¬B ∧ (A → B) | ¬A | ¬B ∧ (A → B) → ¬A |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
8. ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C)
Это выражение демонстрирует транзитивность импликации и всегда истинно. Таблица истинности:
A | B | C | A → B | B → C | (A → B) ∧ (B → C) | A → C | ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Алгебра