ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 6.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным исходному, если:

1. в уравнении 3(2x — 1) — 5(4x + 2) = 1 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;
2. в уравнении x² + 1/(x — 7) — 1/(x — 7) = 49 разность 1/(x — 7) — 1/(x — 7) заменить на нуль;
3. в уравнении (x² — 1)/(x — 1) + 3x — 5 = 0 сократить дробь;
4. обе части уравнения x³ = x разделить на x;
5. обе части уравнения (x + 1)(x² + 4) = x² + 4 разделить на x² + 4;
6. обе части уравнения x²/x = 2 умножить на x;
7. обе части уравнения 2x + 1 = 5 умножить на x + 1.

1. Да, уравнение равносильно. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых не изменяют множество решений.
2. Нет, уравнение не равносильно. Замена разности дробей на нуль неверна, так как теряется область допустимых значений.
3. Нет, уравнение не равносильно. Сокращение дроби возможно только при учете области допустимых значений (x ≠ 1).
4. Нет, уравнение не равносильно. Деление на переменную x теряет корень x = 0.
5. Да, уравнение равносильно. Деление на (x² + 4) допустимо, так как x² + 4 ≠ 0.
6. Нет, уравнение не равносильно. Умножение на x теряет корень x = 0.
7. Нет, уравнение не равносильно. Умножение на (x + 1) вводит дополнительный корень x = -1.

1. В уравнении 3(2x — 1) — 5(4x + 2) = 1 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые
Раскроем скобки:
3(2x — 1) — 5(4x + 2) = 1 → 6x — 3 — 20x — 10 = 1.
Приведем подобные слагаемые:
6x — 20x — 3 — 10 = 1 → -14x — 13 = 1.

Полученное уравнение эквивалентно исходному, так как преобразования не изменяют множество решений.

Ответ: Да, уравнение равносильно.

2. В уравнении x² + 1/(x — 7) — 1/(x — 7) = 49 разность 1/(x — 7) — 1/(x — 7) заменить на нуль
Разность дробей 1/(x — 7) — 1/(x — 7) действительно равна 0, но область допустимых значений уравнения x ≠ 7.
Если заменить разность на нуль, уравнение примет вид:
x² = 49.

Решение: x = ±7. Однако при x = 7 уравнение не имеет смысла. Таким образом, теряется область допустимых значений.

Ответ: Нет, уравнение не равносильно.

3. В уравнении (x² — 1)/(x — 1) + 3x — 5 = 0 сократить дробь
Сократим дробь:
(x² — 1)/(x — 1) = (x — 1)(x + 1)/(x — 1).
При x ≠ 1 дробь сокращается до x + 1. Уравнение становится:
x + 1 + 3x — 5 = 0 → 4x — 4 = 0 → x = 1.

Однако при x = 1 исходное уравнение не имеет смысла, так как знаменатель обращается в нуль. Таким образом, теряется корень.

Ответ: Нет, уравнение не равносильно.

4. Обе части уравнения x³ = x разделить на x
Разделим обе части на x:
x³/x = x/x → x² = 1.
Решение: x = ±1.

Однако при делении на x теряется корень x = 0, который является решением исходного уравнения.

Ответ: Нет, уравнение не равносильно.

5. Обе части уравнения (x + 1)(x² + 4) = x² + 4 разделить на x² + 4
Разделим обе части на x² + 4:
(x + 1)(x² + 4)/(x² + 4) = (x² + 4)/(x² + 4).
При x² + 4 ≠ 0 дробь сокращается:
x + 1 = 1.

Решение: x = 0. Деление допустимо, так как x² + 4 > 0 для всех значений x.

Ответ: Да, уравнение равносильно.

6. Обе части уравнения x²/x = 2 умножить на x
Умножим обе части на x:
(x²/x) * x = 2 * x → x² = 2x.
Перенесем все в одну часть:
x² — 2x = 0 → x(x — 2) = 0.
Решение: x = 0 или x = 2.

Однако при умножении на x теряется корень x = 0, так как x ≠ 0 в исходном уравнении.

Ответ: Нет, уравнение не равносильно.

7. Обе части уравнения 2x + 1 = 5 умножить на x + 1
Умножим обе части на x + 1:
(2x + 1)(x + 1) = 5(x + 1).
Раскроем скобки:
2x² + 2x + x + 1 = 5x + 5 → 2x² — 2x — 4 = 0.

Полученное уравнение имеет дополнительный корень x = -1, который не является решением исходного уравнения.

Ответ: Нет, уравнение не равносильно.