ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Во II в. до н. э. древнегреческий учёный Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.
Только в XIV в. французский учёный Никола Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.
Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма (1601-1665) и Рене Декарта (1596-1650). В своих трудах эти учёные показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.
Несмотря на то, что П. Ферма опубликовал свою работу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита \(x, y, z\), а коэффициенты — первыми: \(a, b, c, …\). Привычные нам обозначения степеней \(x^2, y^3, 2^5\) и т. д. также ввёл Р. Декарт.
Рассмотрим окружность радиуса \(R\) с центром в точке \(O\). Пусть \(M\) — произвольная точка. Обозначим \(MO = d\). Величину, равную \(d^2 — R^2\), называют степенью точки \(M\) относительно данной окружности.
Если точка M лежит внутри окружности (рис. 12.5, а), то её степень отрицательна; если точка M принадлежит окружности (рис. 12.5, б), то её степень равна нулю; если точка M лежит вне
окружности (рис. 12.5, в), то её степень положительна.
Через точку М, лежащую вне окружности, проведём касатель- ную МА (рис. 12.6). Так как OA I МА, то МА2 = МО2 — OA2 = d2 — R2, т. е. величина МА2 равна степени точки М относительно данной окружности.
Рассмотрим две окружности с центрами О1 и О2 и радиусами R1 и R2 соответственно. Найдём ГМТ, которые имеют одинаковую степень относительно данных окружностей.
Точка Х принадлежит искомому ГМТ тогда и только тогда, когда XO2 — R2 = XO2 — R2. Отсюда
XO2 — XO2 = R2 — R2.
Поскольку разность R2 — R2 для данных окружностей является величиной постоянной, то из ключевой задачи 12.1 следует, что иско- мым ГМТ является прямая, перпендикулярная прямой О102. Эту пря- мую называют радикальной осью данных окружностей.
Пусть окружности с центрами О1 и O2 пересекаются в точках А и В (рис. 12.7). Точки А и В относительно данных окружностей имеют степень, равную О. Следовательно, они принадлежат радикальной оси этих окружностей. Это означает, что прямая АВ — радикальная ось.
Если окружности касаются в точке A (рис. 12.8), то их радикальная ось проходит через точку A и перпендикулярна прямой O1O2 (подумайте почему).
Если через точку X, принадлежащую радикальной оси двух
окружностей, проведены к этим окружностям касательные XA и XB
(A и B — точки касания), то получим, что XA = XB (рис. 12.9). Это
свойство подсказывает, как построить радикальную ось двух окружностей, изображённых на рисунке 12.9.
Проведём две общие внешние касательные AB и CD (A, B, C
и D — точки касания). Пусть точки M и N — середины соответственно отрезков AB и CD (рис. 12.10). Тогда эти точки имеют одинаковую
степень относительно данных окружностей. Следовательно, прямая
MN — радикальная ось.
Понятно, что радикальную ось этих окружностей можно построить, проведя их общие внутренние касательные EF и PQ (E, F, P и Q — точки касания). Из сказанного следует, что
середины отрезков AB, CD, EF и PQ лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой O1O2
(рис. 12.11).
Докажите самостоятельно, что окружности, центры которых совпадают, не имеют радикальной оси.
Для двух окружностей с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами \(R_1\) и \(R_2\) радикальная ось определяется уравнением \(XO_1^2 — R_1^2 = XO_2^2 — R_2^2\), что эквивалентно \(XO_1^2 — XO_2^2 = R_1^2 — R_2^2\). Если окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\), то прямая \(AB\) является радикальной осью. Если окружности касаются в точке \(A\), радикальная ось проходит через \(A\) и перпендикулярна прямой \(O_1O_2\). Для построения радикальной оси можно использовать общие внешние касательные \(AB\) и \(CD\); тогда прямая, соединяющая середины отрезков \(AB\) и \(CD\), будет радикальной осью. Аналогично для общих внутренних касательных \(EF\) и \(PQ\). Окружности с совпадающими центрами не имеют радикальной оси, так как в этом случае \(R_1^2 — R_2^2\) является константой, а \(XO_1^2 — XO_2^2\) всегда равно нулю, что приводит к противоречию, если \(R_1 \neq R_2\).
Радикальная ось двух окружностей — это геометрическое место точек, обладающих одинаковой степенью относительно обеих окружностей. Это понятие является краеугольным камнем в изучении систем окружностей и их взаимосвязей в евклидовой геометрии.
Для того чтобы полностью осмыслить радикальную ось, необходимо сначала понять, что такое степень точки относительно окружности. Пусть дана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\). Для любой произвольной точки \(M\) на плоскости степень этой точки относительно данной окружности определяется как выражение \(MO^2 — R^2\), где \(MO\) обозначает расстояние от точки \(M\) до центра окружности \(O\). Если точка \(M\) находится вне окружности, ее степень положительна и равна квадрату длины касательного отрезка, проведенного из \(M\) к окружности. Если точка \(M\) лежит на окружности, ее степень равна нулю. Если же точка \(M\) находится внутри окружности, ее степень отрицательна.
Рассмотрим теперь две различные окружности: первая с центром \(O_1\) и радиусом \(R_1\), и вторая с центром \(O_2\) и радиусом \(R_2\). Точка \(X\) принадлежит радикальной оси этих двух окружностей тогда и только тогда, когда ее степень относительно первой окружности равна ее степени относительно второй окружности. Математически это условие выражается как \(XO_1^2 — R_1^2 = XO_2^2 — R_2^2\). Перегруппировав члены этого уравнения, мы получаем \(XO_1^2 — XO_2^2 = R_1^2 — R_2^2\). Это уравнение описывает прямую линию, которая всегда перпендикулярна прямой, соединяющей центры двух окружностей, то есть линии \(O_1O_2\).
Радикальная ось обладает рядом важных свойств. Во-первых, если две окружности пересекаются в двух различных точках, допустим \(A\) и \(B\), то обе эти точки имеют нулевую степень относительно обеих окружностей. Следовательно, точки \(A\) и \(B\) лежат на радикальной оси, и радикальная ось в этом случае совпадает с прямой, проходящей через \(A\) и \(B\). Во-вторых, если две окружности касаются друг друга в одной точке, скажем \(T\), то точка \(T\) также имеет нулевую степень относительно обеих окружностей. В этом случае радикальная ось является общей касательной к обеим окружностям в точке \(T\). В-третьих, для любой точки \(X\), лежащей на радикальной оси, длины касательных отрезков, проведенных из \(X\) к обеим окружностям, будут равны. То есть, если \(XT_1\) — касательная из \(X\) к первой окружности, а \(XT_2\) — касательная из \(X\) ко второй окружности, то \(XT_1 = XT_2\). Это свойство непосредственно вытекает из определения степени точки.
Построение радикальной оси может быть выполнено несколькими способами. Если окружности пересекаются, достаточно просто провести прямую через их точки пересечения. Если окружности не пересекаются, можно использовать вспомогательную окружность. Для этого проводят третью окружность, которая пересекает обе данные окружности. Пусть эта вспомогательная окружность \(C_3\) пересекает \(C_1\) в точках \(P_1\) и \(Q_1\), а \(C_2\) в точках \(P_2\) и \(Q_2\). Прямая \(P_1Q_1\) будет радикальной осью окружностей \(C_1\) и \(C_3\), а прямая \(P_2Q_2\) будет радикальной осью окружностей \(C_2\) и \(C_3\). Эти две радикальные оси пересекутся в некоторой точке \(K\). Точка \(K\) обладает одинаковой степенью относительно всех трех окружностей \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\). Следовательно, точка \(K\) должна лежать на радикальной оси окружностей \(C_1\) и \(C_2\). Поскольку радикальная ось перпендикулярна линии \(O_1O_2\), достаточно провести прямую через \(K\) перпендикулярно \(O_1O_2\), чтобы получить искомую радикальную ось.
Важно рассмотреть особый случай, когда две окружности являются концентрическими, то есть имеют общий центр \(O\), но разные радиусы \(R_1\) и \(R_2\). В этом случае уравнение для радикальной оси принимает вид \(XO^2 — R_1^2 = XO^2 — R_2^2\). Это уравнение упрощается до \(-R_1^2 = -R_2^2\), или \(R_1^2 = R_2^2\). Поскольку радиусы являются положительными величинами, это означает, что \(R_1 = R_2\). Однако, по условию, мы рассматриваем две различные концентрические окружности, что подразумевает \(R_1 \neq R_2\). Таким образом, если \(R_1 \neq R_2\), уравнение \(R_1^2 = R_2^2\) является противоречием, что означает отсутствие какой-либо точки \(X\), которая могла бы удовлетворять условию равенства степеней относительно обеих окружностей. Следовательно, две концентрические окружности с разными радиусами не имеют радикальной оси. Если же \(R_1 = R_2\), то окружности совпадают, и любая точка плоскости имеет одинаковую степень, но концепция радикальной оси обычно применяется к отчетливо разным окружностям.
